Los fundamentos de la RMN - Capitulo 2

- diciembre 19, 2021

Los fundamentos de la RMN

Capitulo 2

LAS MATEMÁTICAS DE LA RMN

Logaritmos y decibelios

Los científicos tienen muchas formas abreviadas de representar números. Estas representaciones facilitan al científico realizar un cálculo o representar un número. Un logaritmo (log) de un número x se define mediante las siguientes ecuaciones. Si

x = 10 ^y

entonces

log (x) = y.

Verá en la siguiente sección, no es necesario que los logaritmos se basen en potencias de 10.

Los logaritmos son útiles, en parte, debido a algunas de las relaciones al usarlos. Por ejemplo,

log (x) + log (y) = log (xy)
log (x) - log (y) = log (x/y)
log (1/x) = log (x^-1) = -log (x)
log (x^y) = y log (x)

Una aplicación útil de los logaritmos en base diez es el concepto de decibel. Un decibel es una representación logarítmica de una razón de dos cantidades. Para la relación de dos niveles de potencia (P ₁ y P ₂ ), un decibel (dB) se define como

dB = 10 log (P₁ / P₂).

A veces es necesario calcular decibelios a partir de lecturas de voltaje. La relación entre potencia (P) y voltaje (V) es

P = V²/R

donde R es la resistencia del circuito, que suele ser constante. Sustituyendo esta ecuación en la definición de un dB tenemos

dB = 10 log ((V²₁ / R) / (V²₂ /R))
dB = 10 log ((V²₁) / (V²₂))
dB = 10 log ((V₁) / (V₂))²
db = 20 log (V₁ / V₂).

Funciones exponenciales

El número 2.71828183 aparece con tanta frecuencia en los cálculos que se le asigna el símbolo e. Cuando e se eleva a la potencia x, a menudo se escribe exp (x).

e ^x = exp (x) = 2,71828183^x

Los logaritmos basados en potencias de e se denominan logaritmos naturales. Si

x = e^y

entonces

ln (x) = y,

Muchos de los procesos dinámicos de RMN son de naturaleza exponencial. Por ejemplo, las señales decaen exponencialmente en función del tiempo. Por tanto, es fundamental comprender la naturaleza de las curvas exponenciales. Tres funciones exponenciales comunes son

y = e^-x/t

y = (1 - e^-x/t)

y = (1 - 2e^-x/t)

donde x es una constante.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas básicas seno y coseno describen funciones sinusoidales que están desfasadas en 90^°.
Las identidades trigonométricas se utilizan en cálculos geométricos.
Sin (θ) = Opuesto / Hipotenusa
Cos (θ) = Adyacente / Hipotenusa
Tan (θ) = Opuesto / Adyacente
Csc (θ) = 1 / Sin (θ) = Hipotenusa / Opuesto
Sec (θ) = 1 / Cos (θ) = Hipotenusa / Adyacente
Cot (θ) = 1 / Tan (θ) = Adyacente / Opuesto
Tres identidades adicionales son útiles para comprender cómo funciona el detector de un espectrómetro de resonancia magnética nuclear.
Cos (θ₁) Cos (<θ₂) = 1/2 Cos (θ₁ - <θ₂) + 1/2 Cos (θ₁ + θ₂)
Sin (θ₁) Cos (θ₂) = 1/2 Sin (θ₁ + θ₂) + 1/2 Sin (θ₁ - θ₂)
Sin (θ₁) Sin (θ₂) = 1/2 Cos (θ₁ - θ₂) - 1/2 Cos (θ₁ + θ₂)
La función sin (x)/x ocurre con frecuencia y se llama sinc (x).

Diferenciales e integrales

Se puede pensar en un diferencial como la pendiente de una función en cualquier punto. Para la función

el diferencial de y con respecto ax es
Una integral es el área bajo una función entre los límites de la integral.

Una integral también puede considerarse una suma; de hecho, la mayor parte de la integración la realizan las computadoras sumando valores de la función entre los límites integrales.

Vectores

Un vector es una cantidad que tiene una magnitud y una dirección. La magnetización de los espines nucleares se representa como un vector que emana del origen del sistema de coordenadas. Aquí está a lo largo del eje + Z.
En esta imagen, el vector está en el plano XY entre los ejes +X y +Y. El vector tiene componentes X e Y y una magnitud igual a
(X ² + Y ²)^1/2

Matrices

Una matriz es un conjunto de números dispuestos en una matriz rectangular. Esta matriz tiene 3 filas y 4 columnas y se dice que es una matriz de 3 por 4.

Para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. Haga clic secuencialmente en los siguientes botones de inicio para ver los pasos individuales asociados con la multiplicación.

Transformaciones de coordenadas

Una transformación de coordenadas se utiliza para convertir las coordenadas de un vector en un sistema de coordenadas (XY) en otro sistema de coordenadas (X"Y").

Circunvolución

La convolución de dos funciones es la superposición de las dos funciones cuando una función se pasa sobre la segunda. El símbolo de convolución es . La convolución de h(t) y g(t) se define matemáticamente como
La ecuación anterior se representa para las funciones h (t) y g (t) de forma rectangular en esta animación.

Números imaginarios

Los números imaginarios son aquellos que resultan de cálculos que involucran la raíz cuadrada de -1. Los números imaginarios están simbolizados por i.
Un número complejo es uno que tiene una parte real (RE) y una imaginaria (IM). Las partes real e imaginaria de un número complejo son ortogonales.
Dos relaciones útiles entre números complejos y exponenciales son
e^+ix = cos (x) + yo sin (x)y
e^-ix = cos (x) - yo sin (x).

Transformadas de Fourier

La transformada de Fourier (TF) es una técnica matemática para convertir datos en el dominio del tiempo en datos en el dominio de la frecuencia y viceversa.
La transformada de Fourier se explicará en detalle en el Capítulo 5.

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